Succes!

          Un cub cu muchia de 10 unități conține 9 sfere identice ca în imagine. O sferă este în centrul cubului. Deasupra ei sunt 4 sfere tangente ei și tangente la rândul lor cu 3 fețe ale cubului însă netangente între ele. Sub ea sunt tot 4 sfere tangente ei si tangente la rândul lor cu 3 fețe ale cubului însa netangente între ele. Care este raza fiecărei sfere? (sferele sunt identice deci vor avea aceeași rază)

PROBLEMA 1

       Cheia rezolvării acestei probleme este să privim geometric din perpectiva corectă. În loc să analizăm toate cele 9 sfere, vom face o simplificare uriașă. Vom considera doar poziția a 3 sfere, pe diagonala cubului. Vom calcula acum diagonala cubului care va avea 10*sqrt(3)        unități. Acum vom calcula lungimea diagonalei în funcție de raza fiecărei sfere. 

     Pentru sfera de jos, vom avea un cub ce se formeaza între centrul sferei și colțul cubului. Acest cub va avea latura egală cu raza sferei (măsurăm inălțimea cubului de la planul bazei la centrul sferei si obținem r ) și diagonala astfel va fi r*sqrt(3)   

       Apoi vom avea raza sferei egala cu r si diametrul urmatoarei sfere egala cu 2r iar pentru ultima bilă avem același raționament ca pentru prima deci vom avea r si r*sqrt(3). Întreaga distanță va fi egală cu r(4+2*sqrt(3)) care este egală cu 10*sqrt(3) De aici avem r=10*sqrt(3) -15  

UAU!

PROBLEMA 2

   Un cub cu muchia de 3 are așezat deasupra un cub cu muchia de 2 care are așezat deasupra un cub cu muchia de 1, cu două dintre fețe aliniate, ca în figură. Ne imaginăm un segment între colțuri opuse în figură. Care este lungimea liniei conținute în interiorul cubului din mijloc?

     Vom rezolva problema folosind asemănarea triunghiurilor.

     Pentru început vom considera triunghiul evidențiat cu o latură egală cu 6 (3+2+1) iar cu ajutorul formulei diagonalei pătratului îi vom afla o latură, cealaltă fiind dată de teorema lui Pitagora. Astfel punând triunghiul în perspectivă observăm că acesta este compus din 3 triughiuri asemenea.

Folosind asemănarea triunghiurilor observăm că segmentele ipotenuzei triunghiului pot fi scrise în funcție de o constantă x, de aici avem ecuația și răspunsul problemei.

Cum? Atât de simplu?

Parcă începe să-mi placă matematica asta!

PROBLEMA 3

Avem 2 dreptunghiuri similare cu dimensiunile de 2 și 1. Le suprapunem ca în figura de mai jos astfel încât colțurile opuse să fie suprapuse.

Care este aria suprafeței hașurate?

În primul rând vom lua în considerare triunghiul colorat de mai jos. Acesta va avea o latură egală cu 1 iar cealaltă o notăm ca fiind egală cu x. Astfel celălalt segment format pe latura de 2 va fi de 2-x. Observăm că putem demonstra ușor că cele două triunghiuri sunt congruente.

2-x

Astfel observăm că cum în triunghiul hașurat cunoaștem laturile în funcție de x iar folosind teorema lui Pitagora putem forma o ecuație din care îl vom afla mai apoi pe x.

Astfel avem 

Știind că cele două triunghiuri mov sunt congruente și cunoscând laturile lor putem afla ariile acestora și astfel prin scădere obținem aria suprafeței albastre.

      A     +   3/4*1     =    2*1

      A  =     5/4  

Din desenul alăturat deducem ușor că aria cerută este 5/4

Mai simplu decât aș fi crezut! Ați văzut vreun pește? Mi-e cam foame de la atâta matematică!

PROBLEMA 4

             Se dă un dreptunghi cu 3 cercuri tangente între ele și tangente la laturile dreptunghiului încadrate ca în imagine cu diametrele de 3, 4 și 6.

     Determinați lungimea segmentului AB.

Primul pas este să considerăm centrele și razele cercurilor dat fiind că vom rezolva această problemă folosind distanța orizontală dintre centrele cercurilor.

Astfel primul cerc va avea raza de 1.5, al doilea va avea raza de 2 iar al treilea de 3.

Vom considera pentru început distanța dintre centrul cercului roșu și cel verde. observăm că putem crea un triunghi dreptunghic unde o catetă este distanța în înălțime a celor 2 cercuri care este egală cu 3-2=1. Ipotenuza triunghiurilor este distanța dintre centre dar deoarece cercurile sunt tangente, această distanță va fi 2+3=5.

Iar prin teorema lui Pitagora vom afla și cea de-a treia latură, ce ne interesează de fapt și este 2*sqrt(6)

Folosind același raționament vom lucra acum cu cercurile verde și albastru. Formăm un triunghi dreptunghic unde o catetă va fi aflată scăzând din lățimea dreptunghiului razele cercului albastru și cel verde. 6-1.5-2=2.5. Ipotenuza este distanța dintre cele două centre iar cum cercurile sunt tangente, vom avea 2+1.5=3.5.

Astfel prin teorema lui Pitagora aflăm lungimea celeilalte catete (sqrt(6))și astfel lungimea orizontală dintre cele două centre.

Astfel lungimea AB este egală cu 2sqrt(6)+sqrt(6)=3sqrt(6).

Bine, bine, cam multă geometrie, putem avea și puțină algebră?

Desigur!

Se dă un pătrat și un punct ales în interiorul acestuia. Se trasează patru segmente, cu un capăt în punctul ales și un capăt în mijlocul uneia dintre laturile pătratului. Astfel pătratul este divizat în patru suprafețe, cu ariile de 16, 20, 32 și X. Aflați cea de-a 4-a arie.

Atenție! Desenul alăturat nu este la scară ci reprezintă doar o sugestie!

PROBLEMA 5